C++算法系列之日歷生成的算法

所謂的“天文算法”，就是利用經(jīng)典力學(xué)定律推導(dǎo)行星運(yùn)轉(zhuǎn)軌道，對任意時刻的行星位置進(jìn)行精確計算，從而獲得某種天文現(xiàn)象發(fā)生時的時間，比如日月合朔這一天文現(xiàn)象就是太陽和月亮的地心黃經(jīng)（視黃經(jīng)）差為0的那一瞬間。能夠計算任意時刻行星位置的一套理論就被稱為星歷表，比較著名的星歷表有美國國家航空航天局下屬的噴氣推進(jìn)實(shí)驗(yàn)室發(fā)布的DE系列星歷表，還有瑞士天文臺在DE406基礎(chǔ)上拓展的瑞士星歷表等等。根據(jù)行星運(yùn)行軌道直接計算行星位置通常不是很方便，更何況大多數(shù)民用天文計算用不上那么多精確的軌道參數(shù)，于是天文學(xué)家在這些星歷表的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出了很多可以做簡便計算，但是又能保證一定精度的行星運(yùn)行理論，比較著名的有VSOP82/87太陽系行星運(yùn)行理論和ELP-2000/82月球運(yùn)行理論，這兩套理論在精度上已經(jīng)很接近DE系列星歷表了。關(guān)于如何應(yīng)用這兩套倫理進(jìn)行天文歷法計算，請參考“日歷生成算法”系列文章的第三篇《用天文方法計算二十四節(jié)氣》和第四篇《用天文方法計算日月合朔》，本文介紹的農(nóng)歷年歷推算是在已經(jīng)通過天文算法獲得了精確的節(jié)氣時間和日月合朔時間的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。

中國的官方紀(jì)時采用的是中國公歷（格里歷），因此農(nóng)歷年歷的推導(dǎo)應(yīng)以公歷年的周期為主導(dǎo)，附上農(nóng)歷年的信息，也就是說，年歷以公歷的1月1日為起始，至12月31日結(jié)束，根據(jù)農(nóng)歷歷法推導(dǎo)出的農(nóng)歷日期信息，附加在公歷日期信息上形成雙歷。通常情況下，一個公歷年周期都不能完整地對應(yīng)到一個農(nóng)歷年周期上，二者的偏差也不固定，因此不存在穩(wěn)定的對應(yīng)關(guān)系，也就是說，不存在從公歷的日期到農(nóng)歷日期的轉(zhuǎn)換公式，只能根據(jù)農(nóng)歷的歷法規(guī)則推導(dǎo)出農(nóng)歷日期與公歷日期的對應(yīng)關(guān)系。由農(nóng)歷歷法規(guī)則可知，上一個公歷年的冬至（）所在的朔望月是上一個農(nóng)歷年的十一月（冬月），所以在進(jìn)行節(jié)氣計算時，需要計算包括上一年冬至節(jié)氣在內(nèi)的二十五個節(jié)氣，才能對應(yīng)上上一個農(nóng)歷年的十一月和當(dāng)前農(nóng)歷年的十一月。在計算與之對應(yīng)的朔日時，考慮到有閏月的情況，需要從上一年冬至節(jié)氣前的第一個朔日，連續(xù)計算15個朔日才能保證覆蓋兩個冬至之間的一整年時間，圖（1）顯示了2011年沒有閏月的情況下朔日和冬至的關(guān)系：

圖（1）沒有閏月情況下朔日與冬至節(jié)氣關(guān)系圖

圖中上排數(shù)字是公歷月的編號，黑色圓點(diǎn)代表朔日，黑色三角形代表冬至節(jié)氣。圖（2）顯示了2012年有閏月的情況下朔日和冬至的關(guān)系：

圖（2）有閏月情況下朔日與冬至節(jié)氣關(guān)系圖

通過計算得到能夠覆蓋兩個冬至節(jié)氣的所有朔日時間后，就可以著手建立公歷日期與農(nóng)歷日期的對應(yīng)關(guān)系。以圖（1）所示的2011年為例，首先根據(jù)計算得到的15個朔日（2011年只會用到其中的前14個時間）時間，建立與2011年（公歷年）有關(guān)的朔望月關(guān)系表：

表（2）2011年朔望月與公歷日期關(guān)系表

編號為1和2的兩個朔日之間的朔望月是十一月，因?yàn)槎凉?jié)氣落在這個朔望月，其它月的月名依次類推，正月的朔日就是春節(jié)。輸出公歷和農(nóng)歷雙歷時，以月（公歷）為單位，從每月第一天開始，依次判斷每一天屬于哪個朔望月，確定這一天的農(nóng)歷月名，然后比較這一天和這個朔望月的朔日之間相差幾天，記為農(nóng)歷日期。以2011年1月1日為例，這一天在2010年12月6日（2010年農(nóng)歷十一月的朔日）和2011年1月4日之間（2010年農(nóng)歷十二月的朔日），查表（1）可知對應(yīng)的農(nóng)歷月是十一月，這一天和2010年12月6日相差26天，因此這一天的農(nóng)歷日期就是“廿七”。再以2011年2月3日（春節(jié)）這一天為例，查朔望月表得知2月3日屬于從2月3日開始的朔望月，這個朔望月的月名是正月，而2月3日就是月首，農(nóng)歷日期是初一，正月初一就是春節(jié)。

先來介紹兩個函數(shù)，這兩個函數(shù)分別用于計算節(jié)氣和日月合朔發(fā)生的時間，函數(shù)算法的具體描述將在“日歷生成算法”系列文章的第三篇《用天文方法計算二十四節(jié)氣》和第四篇《用天文方法計算日月合朔》中介紹，此處只是簡單介紹一下用法。首先是計算節(jié)氣時間的函數(shù)：

5 double CalculateSolarTerms(int year, int angle);

這個函數(shù)用于計算指定的年份（year參數(shù)）中，太陽在黃道上運(yùn)行（視運(yùn)動）到指定角度時的時間，angle可以設(shè)定節(jié)氣發(fā)生時的角度，比如CalculateSolarTerms(2011, 270)就是計算2011年冬至的時間。這個函數(shù)返回的時間類型是儒略日，關(guān)于儒略日的說明請參考“日歷生成算法”系列文章的第一篇《中國公歷（格里歷）》。
接下來介紹計算日月合朔時間的函數(shù)：

8 double CalculateMoonShuoJD(double tdJD); 

這個函數(shù)返回指定時間附近的朔日時間，搜索的范圍是tdJD參數(shù)指定時間的前一天到后29.5305天，tdJD參數(shù)和返回值的時間類型都是儒略日。

生成指定公歷年份的公歷和農(nóng)歷的雙歷年歷的流程如下：

圖（3）計算公農(nóng)歷雙歷年歷的流程

GetAllSolarTermsJD()函數(shù)從指定年份的指定節(jié)氣開始，連續(xù)計算25個節(jié)氣時間，時間可以跨年份，內(nèi)部判斷過冬至節(jié)氣后自動轉(zhuǎn)到下一年的節(jié)氣繼續(xù)計算：

void CChineseCalendar::GetAllSolarTermsJD(int year, int start, double *SolarTerms)
 {
 int i = 0;
 int st = start;
 while(i < 25)
 {
 double jd = CalculateSolarTerms(year, st * 15);
 if(st == WINTER_SOLSTICE)
 {
 year++;
 }
 st = (st + 1) % SOLAR_TERMS_COUNT;
 }
 }

start參數(shù)是節(jié)氣的索引，定義二十四節(jié)氣的索引如下：

const int VERNAL_EQUINOX = 0; // 春分
const int CLEAR_AND_BRIGHT = 1; // 清明
const int GRAIN_RAIN = 2; // 谷雨
const int SUMMER_BEGINS = 3; // 立夏
const int GRAIN_BUDS = 4; // 小滿
const int GRAIN_IN_EAR = 5; // 芒種
const int SUMMER_SOLSTICE = 6; // 夏至
const int SLIGHT_HEAT = 7; // 小暑
const int GREAT_HEAT = 8; // 大暑
const int AUTUMN_BEGINS = 9; // 立秋
const int STOPPING_THE_HEAT = 10; // 處暑
const int WHITE_DEWS = 11; // 白露
const int AUTUMN_EQUINOX = 12; // 秋分
const int COLD_DEWS = 13; // 寒露
const int HOAR_FROST_FALLS = 14; // 霜降
const int WINTER_BEGINS = 15; // 立冬
const int LIGHT_SNOW = 16; // 小雪
const int HEAVY_SNOW = 17; // 大雪
const int WINTER_SOLSTICE = 18; // 冬至
const int SLIGHT_COLD = 19; // 小寒
const int GREAT_COLD = 20; // 大寒
const int SPRING_BEGINS = 21; // 立春
const int THE_RAINS = 22; // 雨水
const int INSECTS_AWAKEN = 23; // 驚蟄

節(jié)氣索引乘以15就是節(jié)氣在黃道上對應(yīng)的度數(shù)。GetNewMoonJDs()函數(shù)從指定時間開始連續(xù)計算15個朔日時間，從第一個冬至節(jié)氣前的第一個朔日開始。15個朔日可以形成14個完整的朔望月，保證在有閏月的情況下也能包含兩個冬至節(jié)氣：

 void CChineseCalendar::GetNewMoonJDs(double jd, double *NewMoon)
 {
 for(int i = 0; i < NEW_MOON_CALC_COUNT; i++)
 {
 double shuoJD = CalculateMoonShuoJD(jd);
 NewMoon[i] = shuoJD;

 jd += 29.5; /*轉(zhuǎn)到下一個最接近朔日的時間*/
 }
}

BuildAllChnMonthInfo()函數(shù)根據(jù)15個朔日時間組成14個朔望月，根據(jù)相鄰朔日的間隔計算出農(nóng)歷月天數(shù)用來判定大小月，并且從“十一月”開始依次為每個朔望月命名（月建名稱）：

bool CChineseCalendar::BuildAllChnMonthInfo()
 {
 CHN_MONTH_INFO info; //一年最多可13個農(nóng)歷月
 int i;
 int yuejian = 11; //采用夏歷建寅，冬至所在月份為農(nóng)歷11月
 for(i = 0; i < (NEW_MOON_CALC_COUNT - 1); i++)
 {
 info.mmonth = i;
 info.mname = (yuejian <= 12) ? yuejian : yuejian - 12;
 info.shuoJD = m_NewMoonJD[i];
 info.nextJD = m_NewMoonJD[i + 1];
 info.mdays = int(info.nextJD + 0.5) - int(info.shuoJD + 0.5);
 info.leap = 0;
 
 CChnMonthInfo cm(&info);
 m_ChnMonthInfo.push_back(cm);
 
 yuejian++;
 }
 
 return (m_ChnMonthInfo.size() == (NEW_MOON_CALC_COUNT - 1));
 }

CalcLeapChnMonth()函數(shù)根據(jù)節(jié)氣和朔日時間判斷在兩個冬至節(jié)氣之間的農(nóng)歷年是否有閏月，判斷的依據(jù)就是看第十四個朔日是否在第二個冬至節(jié)氣之前，如果第十四個朔日發(fā)生在第二個冬至節(jié)氣之前，就說明在兩個冬至節(jié)氣之間發(fā)生了十三次朔日，需要置閏月。因?yàn)檗r(nóng)歷中十二個中氣屬于哪個農(nóng)歷月是固定的，因此置閏月的過程就是依次判斷十二個中氣是否在對應(yīng)的農(nóng)歷月中，如果本應(yīng)該屬于某個農(nóng)歷月的中氣卻沒有落在這個農(nóng)歷月中，則這個農(nóng)歷月就是閏月，需要設(shè)置閏月標(biāo)志，同時調(diào)整這個月之后的月名。調(diào)整農(nóng)歷月名的方法就是月名減一，比如原來是八月就要調(diào)整為七月，這樣就將十三個月對應(yīng)上了十二個月名（其中多出來的一個農(nóng)歷月被命名為閏某月）。如果節(jié)氣和朔日發(fā)生在同一天，CalcLeapChnMonth()函數(shù)采用的是民間歷法的規(guī)則，與現(xiàn)行歷法一致：

 void CChineseCalendar::CalcLeapChnMonth()
 {
 assert(m_ChnMonthInfo.size() > 0); /*陰歷月的初始化必須在這個之前*/
 
 int i;
 
 if(int(m_NewMoonJD[13] + 0.5) <= int(m_SolarTermsJD[24] + 0.5)) //第13月的月末沒有超過冬至，說明今年需要閏一個月
 {
 //找到第一個沒有中氣的月
 i = 1;
 while(i < (NEW_MOON_CALC_COUNT - 1))
 {
 /*m_NewMoonJD[i + 1]是第i農(nóng)歷月的下一個月的月首，本該屬于第i月的中氣如果比下一個月
 的月首還晚，或者與下個月的月首是同一天（民間歷法），則說明第i月沒有中氣*/
 if(int(m_NewMoonJD[i + 1] + 0.5) <= int(m_SolarTermsJD[2 * i] + 0.5))
  break;
 i++;
 }
 if(i < (NEW_MOON_CALC_COUNT - 1)) /*找到閏月，對后面的農(nóng)歷月調(diào)整月名*/
 {
 m_ChnMonthInfo[i].SetLeapMonth(true);
 while(i < (NEW_MOON_CALC_COUNT - 1))
 {
 m_ChnMonthInfo[i++].ReIndexMonthName();
 }
 }
 }
 }

從理論上講，本文介紹的算法在精度允許的范圍內(nèi)可以計算前后幾千年的農(nóng)歷年歷，但是對古代的農(nóng)歷計算需要小心。首先是“平朔”和“定朔”的問題，唐代以前使用的是平朔方法定月首，本文介紹的計算方法采用的是“定朔”方法，因此計算出的年歷與唐代以前的歷史會不一致。另外，即是在唐代以后采用“定朔”的歷法，因?yàn)楣糯煳挠^測和計算受條件限制，可能不夠精確，因此與現(xiàn)在用天文算法計算出的結(jié)果可能并不一致。所以對歷史農(nóng)歷的計算應(yīng)該以歷史事實(shí)為主，天文計算為輔，當(dāng)計算與歷史不一致時，要根據(jù)歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行校正。Calendar.exe是根據(jù)本文介紹的算法編寫的日歷小程序，沒有太多的功能，主要是為了驗(yàn)證算法，因?yàn)闆]有歷史數(shù)據(jù)用于修正結(jié)果，因此不支持1601年以前的農(nóng)歷計算（也就是說按照天文算法計算出來的結(jié)果可能和實(shí)際歷史上的歷法不符）。

圖（5）演示程序的界面

小知識1：民間歷法和歷理歷法

新中國成立以后沒有頒布新的“官方農(nóng)歷歷法”，將歷法和政治分離體現(xiàn)了時代的進(jìn)步，但是由于沒有 “官方歷法”，也引起了一些問題。比如我國現(xiàn)在采用的農(nóng)歷歷法是《時憲歷》，它源于清朝順治年間（公元1645）頒布的《順治歷》，它有兩個不足之處：一個是日月合朔和節(jié)氣的時間以北京當(dāng)?shù)貢r間為準(zhǔn)，也就是東經(jīng)116度25分的當(dāng)?shù)貢r間，其節(jié)氣和新月的觀察只適用于中原地區(qū)。其它經(jīng)度的地方，因?yàn)闀r間的關(guān)系，對導(dǎo)致日月合朔和節(jié)氣時間的差異導(dǎo)致置閏和月順序各不相同。另一個不足之處就是日月合朔時間和節(jié)氣時間判斷不精確，如果日月合朔時間和節(jié)氣時間在同一天，不管具體的時間是否有先后，一律將此節(jié)氣算做新月中的節(jié)氣，這樣一來，如果這個節(jié)氣是中氣，就會影響到閏月的設(shè)置。歷理歷法針對這兩點(diǎn)進(jìn)行了改進(jìn)，對節(jié)氣時間和日月合朔時間統(tǒng)一采用東經(jīng)120度即東八區(qū)標(biāo)準(zhǔn)時，這樣在任何時區(qū)的節(jié)氣和置閏結(jié)果都是一樣的，以東八區(qū)標(biāo)準(zhǔn)時為準(zhǔn)。對于節(jié)氣時間和日月合朔時間在同一天的情況，精確計算到時、分、秒，只有日月合朔時間在節(jié)氣時間之前，這個節(jié)氣才包含在次月內(nèi)。歷理歷法從理論上講更符合現(xiàn)代天文學(xué)的精確計算，但是需要注意的是，歷理歷法仍然只是存在于理論上的歷法，我國現(xiàn)行的農(nóng)歷歷法依然是民間歷法《時憲歷》或《順治歷》。

小知識2：通式壽星公式

“通式壽星公式”是前人整理出來的一個用于計算每年立春日期的經(jīng)驗(yàn)公式:

Date = 向下取整(Y * D + C) - L

其中，Y是年份，D的值是0.2422，C是經(jīng)驗(yàn)值，取決于節(jié)氣和年份，對于21世紀(jì)，立春節(jié)氣的C值是4.475，春分節(jié)氣的C值是20.646等等；

L是閏年數(shù)，其計算公式為：

L = 向下取整(Y/4) - 向下取整(Y/100) + 向下取整(Y/400)

用“通式壽星公式”確定2011年立春日期的過程如下：

L = int(2011/4) – int(2011/100) + int(2011/400) = 502 – 20 + 5 = 487

Date = int（2011×0.2422+4.475）- 487 = 491 – 487 = 4

所以，2011年的立春日期是2月4日。

小知識3：計算節(jié)氣和朔日的經(jīng)驗(yàn)公式

以1900年1月0日（星期日）為基準(zhǔn)日，之后的每一天與基準(zhǔn)日的差值稱為“積日”， 1900年1月1日的積日是1，以后的時間依次類推，則計算第y年第x個節(jié)氣的積日公式是：

F = 365.242 * (y – 1900) + 6.2 + 15.22 *x - 1.9 * sin(0.262 * x)

其中x是節(jié)氣的索引，0代表小寒，1代表大寒，其它節(jié)氣按照順序類推。

計算從1900年開始第m個朔日的公式是：

M = 1.6 + 29.5306 * m + 0.4 * sin(1 - 0.45058 * m)

小知識4：平朔和定朔

中國農(nóng)歷的朔望月長度是平均29.5305天，所以農(nóng)歷月就有大月30天，小月29天之分，從先秦時期到唐代，農(nóng)歷歷法均是采用大小月輪流交替的方式設(shè)置每個農(nóng)歷月的天數(shù)，只有少數(shù)情況下才出現(xiàn)連續(xù)兩個大月的情況，采用這種方式的歷法就稱為“平朔”。“平朔”歷法簡單，但是不能保證日月合朔發(fā)生在初一這一天，有可能是上月的月末一天，也有可能是本月初二。南北朝時期，一種新的歷法被提出來，這種歷法嚴(yán)格按照日月合朔為月初制定農(nóng)歷月，采用這種方式的歷法就稱為“定朔”。“定朔”歷法嚴(yán)格將日月合朔時間確定月初，因?yàn)樵虑蚬D(zhuǎn)是橢圓軌道，速度并不是均勻，所以會發(fā)生連續(xù)多個大月或連續(xù)多個小月的情況，導(dǎo)致“定朔”歷法推廣遇到很大的阻力，直到唐代，中國歷法才全面棄用“平朔”，改用“定朔”。

小知識5：正月初一和立春節(jié)氣

立春是二十四節(jié)氣之首，所以古代民間都是在“立春”這一天過節(jié)，相當(dāng)于現(xiàn)代的春節(jié)（中國古代即是節(jié)氣也是節(jié)日的情況很多，比如清明、冬至等等）。農(nóng)歷年從正月初一開始沒有爭議，但是農(nóng)歷生肖年從何時開始卻一直有爭議，目前多數(shù)人都認(rèn)為“立春”節(jié)氣是農(nóng)歷生肖年的開始。因?yàn)樵谥袊糯鷼v法中，十二生肖的計算與天干地支有很大關(guān)系，所以在“論天干地支、計算廿四節(jié)氣”的情況下，“立春”節(jié)氣應(yīng)該是新生肖的開始。對于普通老百姓來說，習(xí)慣于認(rèn)為正月初一是生肖年的開始，因此，正月初一和“立春”節(jié)氣之間出生的小孩，在確定屬相的時候就有點(diǎn)麻煩了。屬龍還是屬蛇？這是個問題。

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