詳解Python中常用的激活函數(shù)(Sigmoid、Tanh、ReLU等)

更新時(shí)間：2023年04月13日 09:52:04 作者：Billie使勁學(xué)

激活函數(shù) (Activation functions) 對于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型去學(xué)習(xí)、理解非常復(fù)雜和非線性的函數(shù)來說具有十分重要的作用，這篇文章主要介紹了Python中常用的激活函數(shù)(Sigmoid、Tanh、ReLU等),需要的朋友可以參考下

一、激活函數(shù)定義

激活函數(shù) (Activation functions) 對于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型去學(xué)習(xí)、理解非常復(fù)雜和非線性的函數(shù)來說具有十分重要的作用。它們將非線性特性引入到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中。在下圖中，輸入的 inputs 通過加權(quán)，求和后，還被作用了一個(gè)函數(shù)f，這個(gè)函數(shù)f就是激活函數(shù)。引入激活函數(shù)是為了增加神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的非線性。沒有激活函數(shù)的每層都相當(dāng)于矩陣相乘。就算你疊加了若干層之后，無非還是個(gè)矩陣相乘罷了。

為什么使用激活函數(shù)？

  如果不用激勵(lì)函數(shù)（其實(shí)相當(dāng)于激勵(lì)函數(shù)是f(x) = x），在這種情況下你每一層節(jié)點(diǎn)的輸入都是上層輸出的線性函數(shù)，很容易驗(yàn)證，無論你神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有多少層，輸出都是輸入的線性組合，與沒有隱藏層效果相當(dāng)，這種情況就是最原始的感知機(jī)（Perceptron）了，那么網(wǎng)絡(luò)的逼近能力就相當(dāng)有限。正因?yàn)樯厦娴脑?，我們決定引入非線性函數(shù)作為激勵(lì)函數(shù)，這樣深層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)表達(dá)能力就更加強(qiáng)大（不再是輸入的線性組合，而是幾乎可以逼近任意函數(shù)）。

激活函數(shù)有哪些性質(zhì)？

非線性：當(dāng)激活函數(shù)是非線性的，一個(gè)兩層的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)就可以基本上逼近所有的函數(shù)。但如果激活函數(shù)是恒等激活函數(shù)的時(shí)候，即f(x) = x，就不滿足這個(gè)性質(zhì)，而且如果MLP使用的是恒等激活函數(shù)，那么其實(shí)整個(gè)網(wǎng)絡(luò)跟單層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是等價(jià)的。
可微性：當(dāng)優(yōu)化方法是基于梯度的時(shí)候，就體現(xiàn)的該本質(zhì)。
單調(diào)性：當(dāng)激活函數(shù)是單調(diào)的時(shí)候，單層網(wǎng)絡(luò)能夠保證是凸函數(shù)。
輸出值的范圍：當(dāng)激活函數(shù)輸出值是有限的時(shí)候，基于梯度的優(yōu)化方法會更加穩(wěn)定，因?yàn)樘卣鞯谋硎臼苡邢迿?quán)值的影響更顯著；當(dāng)激活函數(shù)的輸出是無限的時(shí)候，模型的訓(xùn)練更加高效，不過這種情況很小，一般需要更小的learning rate。

二、梯度消失與梯度爆炸

1.什么是梯度消失與梯度爆炸

梯度消失與梯度爆炸

層數(shù)比較多的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在訓(xùn)練的時(shí)候會出現(xiàn)梯度消失(gradient vanishing problem)和梯度爆炸(gradient exploding problem)問題。梯度消失問題和梯度爆炸問題一般會隨著網(wǎng)絡(luò)層數(shù)的增加變得越來越明顯。

例如，一個(gè)網(wǎng)絡(luò)含有三個(gè)隱藏層，梯度消失問題發(fā)生時(shí)，靠近輸出層的hidden layer 3的權(quán)值更新相對正常，但是靠近輸入層的hidden layer1的權(quán)值更新會變得很慢，導(dǎo)致靠近輸入層的隱藏層權(quán)值幾乎不變，仍接近于初始化的權(quán)值。這就導(dǎo)致hidden layer 1 相當(dāng)于只是一個(gè)映射層，對所有的輸入做了一個(gè)函數(shù)映射，這時(shí)此深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)就等價(jià)于只有后幾層的隱藏層網(wǎng)絡(luò)在學(xué)習(xí)。梯度爆炸的情況是：當(dāng)初始的權(quán)值過大，靠近輸入層的hidden layer 1的權(quán)值變化比靠近輸出層的hidden layer 3的權(quán)值變化更快，就會引起梯度爆炸的問題。

2.梯度消失的根本原因

梯度消失的根本原因

以下圖的反向傳播為例：

假設(shè)σ為sigmoid，C為代價(jià)函數(shù)。

下圖（1）式為該網(wǎng)絡(luò)的前向傳播公式。

根據(jù)前向傳播公式，我們得出梯度更新公式：

其中由公式（1）得出

$\frac{\partial y_{i}}{\partial z_{i}}=\sigma ^{'}(z_{i})$

$\frac{\partial z_{i}}{\partial x_{i}}=w_{i}$

sigmoid函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如下圖所示

$\sigma ^{'}(x)$

的最大值是

$\frac{1}{4}$

，而我們一般會使用標(biāo)準(zhǔn)方法來初始化網(wǎng)絡(luò)權(quán)重，即使用一個(gè)均值為0標(biāo)準(zhǔn)差為1的高斯分布。因此，初始化的網(wǎng)絡(luò)權(quán)值通常都小于1，從而有 $\left | \sigma ^{'}(z)w \right |\leq \frac{1}{4}$ 。對于2式的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)，層數(shù)越多，求導(dǎo)結(jié)果越小，前面的網(wǎng)絡(luò)層比后面的網(wǎng)絡(luò)層梯度變化更小，故權(quán)值變化緩慢，最終導(dǎo)致梯度消失的情況出現(xiàn)。

梯度爆炸的根本原因

當(dāng) $\left | \sigma ^{'}(z)w \right |> 1$ ，也就是w比較大的情況。則前面的網(wǎng)絡(luò)層比后面的網(wǎng)絡(luò)層梯度變化更快，引起了梯度爆炸的問題。

當(dāng)激活函數(shù)為sigmoid時(shí)，梯度消失和梯度爆炸那個(gè)更容易發(fā)生？

梯度消失較容易發(fā)生

量化分析梯度爆炸時(shí)x的取值范圍：因?qū)?shù)最大為0.25，故|w|>4，才可能出現(xiàn)；按照可計(jì)算出x的數(shù)值變化范圍很窄，僅在公式3范圍內(nèi)，才會出現(xiàn)梯度爆炸。畫圖如5所示，可見x的數(shù)值變化范圍很??；最大數(shù)值范圍也僅僅0.45，當(dāng)|w|=6.9時(shí)出現(xiàn)。因此僅僅在此很窄的范圍內(nèi)會出現(xiàn)梯度爆炸的問題。

$\frac{2}{\left | w \right |}ln(\frac{\left | w \right |(1+\sqrt{1-4/\left | w \right |})}{2}-1)$

3.如何解決梯度消失與梯度爆炸問題

如何解決梯度消失和梯度爆炸問題？

梯度消失和梯度爆炸問題都是因?yàn)?strong>網(wǎng)絡(luò)太深，網(wǎng)絡(luò)權(quán)值更新不穩(wěn)定造成的，本質(zhì)上是因?yàn)樘荻确聪騻鞑ブ械倪B乘效應(yīng)。對于更普遍的梯度消失問題，可以考慮一下三種方案解決：

1. 用ReLU、Leaky-ReLU、P-ReLU、R-ReLU、Maxout等替代sigmoid函數(shù)。

2. 用Batch Normalization。

3. LSTM的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)也可以改善RNN中的梯度消失問題。

三、常用激活函數(shù)

激活函數(shù)分為兩類，飽和激活函數(shù)和非飽和激活函數(shù)。

飽和激活函數(shù)包括sigmoid、tanh；非飽和激活函數(shù)包括ReLU、PReLU、Leaky ReLU、RReLU、ELU等。

那什么是飽和函數(shù)呢？

        sigmoid和tanh是“飽和激活函數(shù)”，而ReLU及其變體則是“非飽和激活函數(shù)”。使用“非飽和激活函數(shù)”的優(yōu)勢在于兩點(diǎn)：(1)"非飽和激活函數(shù)”能解決所謂的“梯度消失”問題。(2)它能加快收斂速度。

        Sigmoid函數(shù)將一個(gè)實(shí)值輸入壓縮至[0,1]的范圍---------σ(x) = 1 / (1 + exp(−x))
        tanh函數(shù)將一個(gè)實(shí)值輸入壓縮至 [-1, 1]的范圍---------tanh(x) = 2σ(2x) − 1
由于使用sigmoid激活函數(shù)會造成神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的梯度消失和梯度爆炸問題，所以許多人提出了一些改進(jìn)的激活函數(shù)，如：tanh、ReLU、Leaky ReLU、PReLU、RReLU、ELU、Maxout。

1.Sigmoid

sigmoid的數(shù)學(xué)公式為 $\sigma (x)=\frac{1}{1+e^{-x}}$

其導(dǎo)數(shù)公式為 $\sigma ^{'}(x)=\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x})^{2}}=\sigma (x)(1-\sigma (x))$

如下圖所示，左圖為sigmoid的函數(shù)圖，右圖為其導(dǎo)數(shù)圖.

特點(diǎn)：它能夠把輸入的連續(xù)實(shí)值變換為0和1之間的輸出，特別的，如果是非常大的負(fù)數(shù)，那么輸出就是0；如果是非常大的正數(shù)，輸出就是1。

在什么情況下適合使用 Sigmoid 激活函數(shù)？
Sigmoid 函數(shù)的輸出范圍是 0 到 1。由于輸出值限定在 0 到 1，因此它對每個(gè)神經(jīng)元的輸出進(jìn)行了歸一化；用于將預(yù)測概率作為輸出的模型。由于概率的取值范圍是 0 到 1，因此 Sigmoid 函數(shù)非常合適；梯度平滑，避免「跳躍」的輸出值；函數(shù)是可微的。這意味著可以找到任意兩個(gè)點(diǎn)的 sigmoid 曲線的斜率；明確的預(yù)測，即非常接近 1 或 0。

缺點(diǎn)：
容易出現(xiàn)梯度消失函數(shù)輸出并不是zero-centered（零均值）冪運(yùn)算相對來講比較耗時(shí)
1.梯度消失

優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法是梯度回傳：先計(jì)算輸出層對應(yīng)的 loss，然后將 loss 以導(dǎo)數(shù)的形式不斷向上一層網(wǎng)絡(luò)傳遞，修正相應(yīng)的參數(shù)，達(dá)到降低loss的目的。 Sigmoid函數(shù)在深度網(wǎng)絡(luò)中常常會導(dǎo)致導(dǎo)數(shù)逐漸變?yōu)?，使得參數(shù)無法被更新，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)無法被優(yōu)化。原因在于兩點(diǎn)：
當(dāng)σ(x)中的x較大或較小時(shí)，導(dǎo)數(shù)接近0，而后向傳遞的數(shù)學(xué)依據(jù)是微積分求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t，當(dāng)前層的導(dǎo)數(shù)需要之前各層導(dǎo)數(shù)的乘積，幾個(gè)小數(shù)的相乘，結(jié)果會很接近0。Sigmoid導(dǎo)數(shù)的最大值是0.25，這意味著導(dǎo)數(shù)在每一層至少會被壓縮為原來的1/4，通過兩層后被變?yōu)?/16，…，通過10層后為1/1048576。請注意這里是“至少”，導(dǎo)數(shù)達(dá)到最大值這種情況還是很少見的。
2.零均值

零均值是不可取的，因?yàn)檫@會導(dǎo)致后一層的神經(jīng)元將得到上一層輸出的非0均值的信號作為輸入。 Sigmoid函數(shù)的輸出值恒大于0，這會導(dǎo)致模型訓(xùn)練的收斂速度變慢。舉例來講，對 $\sigma (\sum_{i}^{}w_{i}x_{i}+b)$ ，如果所有 $x_{i}$ 均為正數(shù)或負(fù)數(shù)，那么其對 $w_{i}$ 的導(dǎo)數(shù)總是正數(shù)或負(fù)數(shù)，這會導(dǎo)致如下圖紅色箭頭所示的階梯式更新，這顯然并非一個(gè)好的優(yōu)化路徑。深度學(xué)習(xí)往往需要大量時(shí)間來處理大量數(shù)據(jù)，模型的收斂速度是尤為重要的。所以，總體上來講，訓(xùn)練深度學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)盡量使用zero-centered數(shù)據(jù) (可以經(jīng)過數(shù)據(jù)預(yù)處理實(shí)現(xiàn)) 和zero-centered輸出。

不是zero-centered產(chǎn)生的一個(gè)結(jié)果就是：如果數(shù)據(jù)進(jìn)入神經(jīng)元的時(shí)候是正的，那么 w 計(jì)算出的梯度也會始終都是正的。當(dāng)然了，如果你是按batch去訓(xùn)練，那么那個(gè)batch可能得到不同的信號，所以這個(gè)問題還是可以緩解一下的。因此，非0均值這個(gè)問題雖然會產(chǎn)生一些不好的影響，不過跟上面提到的梯度消失問題相比還是要好很多的。

3.冪運(yùn)算相對耗時(shí)

相對于前兩項(xiàng)，這其實(shí)并不是一個(gè)大問題，我們目前是具備相應(yīng)計(jì)算能力的，但面對深度學(xué)習(xí)中龐大的計(jì)算量，最好是能省則省。之后我們會看到，在ReLU函數(shù)中，需要做的僅僅是一個(gè)thresholding，相對于冪運(yùn)算來講會快很多。

2.Tanh

tanh的數(shù)學(xué)公式為： $tanh(x)=\frac{2}{1+e^{-2x}}-1$

其導(dǎo)數(shù)為： $tanh^{'}(x)=\frac{4e^{2x}}{(1+e^{-2x})^{2}}$

sigmoid與tanh的比較

首先，當(dāng)輸入較大或較小時(shí)，輸出幾乎是平滑的并且梯度較小，這不利于權(quán)重更新。二者的區(qū)別在于輸出間隔，tanh 的輸出間隔為 1，并且整個(gè)函數(shù)以 0 為中心，比 sigmoid 函數(shù)更好；

在 tanh 圖中，負(fù)輸入將被強(qiáng)映射為負(fù)，而零輸入被映射為接近零。

注意：在一般的二元分類問題中，tanh 函數(shù)用于隱藏層，而 sigmoid 函數(shù)用于輸出層，但這并不是固定的，需要根據(jù)特定問題進(jìn)行調(diào)整。

3.ReLU

ReLU的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

其導(dǎo)數(shù)公式為

ReLU的優(yōu)點(diǎn)：
解決了梯度消失問題 (在正區(qū)間)，ReLU的非飽和性可以有效地解決梯度消失的問題，提供相對寬的激活邊界。Sigmoid和Tanh激活函數(shù)均需要計(jì)算指數(shù)，復(fù)雜度高，而ReLU只需要一個(gè)閾值即可得到激活值。ReLU 函數(shù)中只存在線性關(guān)系，因此它的計(jì)算速度比 sigmoid 和 tanh 更快。計(jì)算速度非?？欤?strong>只需要判斷輸入是否大于0。收斂速度遠(yuǎn)快于sigmoid和tanhReLU使得一部分神經(jīng)元的輸出為0，這樣就造成了網(wǎng)絡(luò)的稀疏性，并且減少了參數(shù)的互相依存關(guān)系，緩解了過擬合問題的發(fā)生

ReLU存在的問題
ReLU 函數(shù)的輸出為 0 或正數(shù)，不是zero-centered對參數(shù)初始化和學(xué)習(xí)率非常敏感；ReLU 函數(shù)的輸出均值大于0，偏移現(xiàn)象和神經(jīng)元死亡會共同影響網(wǎng)絡(luò)的收斂性。存在神經(jīng)元死亡，指的是某些神經(jīng)元可能永遠(yuǎn)不會被激活，導(dǎo)致相應(yīng)的參數(shù)永遠(yuǎn)不能被更新。這是由于函數(shù)導(dǎo)致負(fù)梯度在經(jīng)過該ReLU單元時(shí)被置為0，且在之后也不被任何數(shù)據(jù)激活，即流經(jīng)該神經(jīng)元的梯度永遠(yuǎn)為0，不對任何數(shù)據(jù)產(chǎn)生響應(yīng)。 當(dāng)輸入為負(fù)時(shí)，ReLU 完全失效，在正向傳播過程中，這不是問題。有些區(qū)域很敏感，有些則不敏感。但是在反向傳播過程中，如果輸入負(fù)數(shù)，則梯度將完全為零，sigmoid 函數(shù)和 tanh 函數(shù)也具有相同的問題。有兩個(gè)主要原因可能導(dǎo)致這種情況產(chǎn)生: (1) 非常不幸的參數(shù)初始化，這種情況比較少見； (2) learning rate太高導(dǎo)致在訓(xùn)練過程中參數(shù)更新太大，會導(dǎo)致超過一定比例的神經(jīng)元不可逆死亡，進(jìn)而參數(shù)梯度無法更新，整個(gè)訓(xùn)練過程失敗。解決方法是可以采用Xavier初始化方法，以及避免將learning rate設(shè)置太大或使用adagrad等自動(dòng)調(diào)節(jié)learning rate的算法。

怎樣理解ReLU（<0）時(shí)是非線性激活函數(shù)？

從圖像可看出具有如下特點(diǎn)：
單側(cè)抑制相對寬闊的興奮邊界稀疏激活性
ReLU函數(shù)從圖像上看，是一個(gè)分段線性函數(shù)，把所有的負(fù)值都變?yōu)?，而正值不變，這樣就成為單側(cè)抑制。

因?yàn)橛辛诉@單側(cè)抑制，才使得神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的神經(jīng)元也具有了稀疏激活性。

稀疏激活性：從信號方面來看，即神經(jīng)元同時(shí)只對輸入信號的少部分選擇性響應(yīng)，大量信號被刻意的屏蔽了，這樣可以提高學(xué)習(xí)的精度，更好更快地提取稀疏特征。當(dāng)x<0時(shí)，ReLU硬飽和，當(dāng)x>0時(shí)，則不存在飽和函數(shù)。ReLU能夠在在x>0時(shí)保持梯度不衰減，從而緩解梯度消失問題。

4.Leaky ReLU

人們?yōu)榱私鉀Q失效神經(jīng)元，提出了將ReLU的前半段設(shè)為αx而非0。

Leaky ReLU的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

其導(dǎo)數(shù)公式為

在這里插入圖片描述

為什么 Leaky ReLU 比 ReLU 更好？
Leaky ReLU 通過把 x 的非常小的線性分量給予負(fù)輸入（αx）來調(diào)整負(fù)值的零梯度（zero gradients）問題；leak 有助于擴(kuò)大 ReLU 函數(shù)的范圍，通常 a 的值為 0.01 左右；Leaky ReLU 的函數(shù)范圍是（負(fù)無窮到正無窮）。
但另一方面， a值的選擇增加了問題難度，需要較強(qiáng)的人工先驗(yàn)或多次重復(fù)訓(xùn)練以確定合適的參數(shù)值。

LeakyReLU與ReLU和PReLU之間區(qū)別
if α=0 ，則函數(shù)是ReLUif α>0 ，則函數(shù)是Leaky ReLUif α是可學(xué)習(xí)參數(shù)，則函數(shù)是PReLU（Parametric ReLU）

5.ELU

ELU 的提出也解決了 ReLU 的問題。與 ReLU 相比，ELU 有負(fù)值，這會使激活的平均值接近零。均值激活接近于零可以使學(xué)習(xí)更快，因?yàn)樗鼈兪固荻雀咏匀惶荻取?/p>

顯然，ELU 具有 ReLU 的所有優(yōu)點(diǎn)，并且：
沒有 Dead ReLU 問題，輸出的平均值接近 0，以 0 為中心；ELU 通過減少偏置偏移的影響，使正常梯度更接近于單位自然梯度，從而使均值向零加速學(xué)習(xí)；ELU 在較小的輸入下會飽和至負(fù)值，從而減少前向傳播的變異和信息。
一個(gè)小問題是它的計(jì)算強(qiáng)度更高。與 Leaky ReLU 類似，盡管理論上比 ReLU 要好，但目前在實(shí)踐中沒有充分的證據(jù)表明 ELU 總是比 ReLU 好。

6.softmax

Softmax 是用于多類分類問題的激活函數(shù)，在多類分類問題中，超過兩個(gè)類標(biāo)簽則需要類成員關(guān)系。對于長度為 K 的任意實(shí)向量，Softmax 可以將其壓縮為長度為 K，值在（0，1）范圍內(nèi)，并且向量中元素的總和為 1 的實(shí)向量。

Softmax 與正常的 max 函數(shù)不同：max 函數(shù)僅輸出最大值，但 Softmax 確保較小的值具有較小的概率，并且不會直接丟棄。我們可以認(rèn)為它是 argmax 函數(shù)的概率版本或「soft」版本。

Softmax 函數(shù)的分母結(jié)合了原始輸出值的所有因子，這意味著 Softmax 函數(shù)獲得的各種概率彼此相關(guān)。

Softmax 激活函數(shù)的主要缺點(diǎn)是：
在零點(diǎn)不可微；負(fù)輸入的梯度為零，這意味著對于該區(qū)域的激活，權(quán)重不會在反向傳播期間更新，因此會產(chǎn)生永不激活的死亡神經(jīng)元。

7.Swish

Swish的表達(dá)式為y = x * sigmoid (x)

Swish 的設(shè)計(jì)受到了 LSTM 和高速網(wǎng)絡(luò)中 gating 的 sigmoid 函數(shù)使用的啟發(fā)。我們使用相同的 gating 值來簡化 gating 機(jī)制，這稱為 self-gating。

self-gating 的優(yōu)點(diǎn)在于它只需要簡單的標(biāo)量輸入，而普通的 gating 則需要多個(gè)標(biāo)量輸入。這使得諸如 Swish 之類的 self-gated 激活函數(shù)能夠輕松替換以單個(gè)標(biāo)量為輸入的激活函數(shù)（例如 ReLU），而無需更改隱藏容量或參數(shù)數(shù)量。

Swish 激活函數(shù)的主要優(yōu)點(diǎn)如下：
「無界性」有助于防止慢速訓(xùn)練期間，梯度逐漸接近 0 并導(dǎo)致飽和；（同時(shí)，有界性也是有優(yōu)勢的，因?yàn)橛薪缂せ詈瘮?shù)可以具有很強(qiáng)的正則化，并且較大的負(fù)輸入問題也能解決）；導(dǎo)數(shù)恒 > 0；平滑度在優(yōu)化和泛化中起了重要作用。

到此這篇關(guān)于Python中常用的激活函數(shù)(Sigmoid、Tanh、ReLU等)的文章就介紹到這了,更多相關(guān)激活函數(shù)內(nèi)容請搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章希望大家以后多多支持腳本之家！

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詳解Python中常用的激活函數(shù)(Sigmoid、Tanh、ReLU等)

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一、激活函數(shù)定義