什么是比特幣時(shí)間冪律模型?比特幣時(shí)間冪律模型對(duì)比特幣預(yù)測(cè)
比特幣時(shí)間冪律模型是什么？一文讀懂比特幣時(shí)間冪律模型。前物理學(xué)教授喬瓦尼·桑托斯塔西 (Giovanni Santostasi) 揭示了他預(yù)測(cè)比特幣價(jià)格的“冪律”模型——預(yù)測(cè)到 2045 年，每個(gè) BTC 的價(jià)值將達(dá)到 1000 萬(wàn)美元。 冪律是一種數(shù)學(xué)關(guān)系，其中一個(gè)值與另一個(gè)值的固定冪成正比。從地震頻率到股票市場(chǎng)變化的動(dòng)態(tài)，冪律在各種自然發(fā)生的現(xiàn)象中都得到了觀察。
比特幣時(shí)間冪律模型對(duì)比特幣的猜測(cè)
Santostasi 于 2018 年在 Reddit 的 r/Bitcoin 子版塊中首次分享了冪律模型。然而，在 YouTube 金融博主 Andrei Jeikh 在向他的 230 萬(wàn)訂閱者發(fā)布的視頻中提及該模型后，該模型在今年 1 月再次興起。Santostasi 表示，該模型預(yù)測(cè)比特幣可能會(huì)在 2026 年 1 月達(dá)到 210,000 美元的峰值，然后跌至 60,000 美元。
在 3 月 2 日與數(shù)學(xué)家和比特幣投資者 Fred Krueger的討論中，Santostasi 表示，冪律模型顯示了更容易理解和預(yù)測(cè)的長(zhǎng)期比特幣價(jià)格走勢(shì)模型。相比之下，主流媒體使用的大多數(shù)短期比特幣價(jià)格圖表往往顯示出對(duì)比特幣價(jià)格走勢(shì)的“混亂”和不準(zhǔn)確的看法。
“他們通常在電視中顯示的線性圖表——[吉姆]克萊默正在談?wù)摰?mdash;—看起來(lái)很混亂。”
“但是什么時(shí)候你觀察 y 軸的對(duì)數(shù)，你就會(huì)開(kāi)始看到那里的一些規(guī)律性，它看起來(lái)并不那么混亂，它看起來(lái)像是一個(gè)非常好的模式，”他解釋道。
桑托斯塔西表示，與現(xiàn)在廣受批評(píng)的存量-流量模型不同，冪律是對(duì)數(shù)而不是指數(shù)。
這意味著比特幣的價(jià)格不必隨著時(shí)間的推移不斷上漲，并且在該模型下仍然可以解釋最近在 2020 年至 2023 年期間出現(xiàn)的價(jià)格大幅波動(dòng)。
在 3 月 3 日發(fā)布的 X后續(xù)帖子中，克魯格概述了冪律應(yīng)用于比特幣時(shí)的進(jìn)一步數(shù)學(xué)模型，該模型預(yù)測(cè)比特幣的價(jià)格將在未來(lái)兩年內(nèi)達(dá)到 10 萬(wàn)美元。
克魯格的冪律模型預(yù)測(cè)到 2045 年比特幣價(jià)格將達(dá)到 1000 萬(wàn)美元。
Krueger 補(bǔ)充說(shuō)，如果比特幣遵循冪律模型，到 2033 年，其市值將超過(guò)黃金，屆時(shí)每個(gè)代幣的價(jià)值將達(dá)到 100 萬(wàn)美元。
盡管桑托斯塔西和克魯格相信冪律模型，但批評(píng)者表示，任何數(shù)學(xué)模型都可能容易出現(xiàn)重大錯(cuò)誤，并且無(wú)法考慮可能對(duì)價(jià)格產(chǎn)生嚴(yán)重影響的隨機(jī)事件。
導(dǎo)言
本篇是譯自 Harold Christopher Burger 及 Peter Vijn 合作的論文《比特幣的時(shí)間冪律模型及其協(xié)整性再探討》（Bitcoin’s time-based power-law and cointegration revisited, 2024.1.31），理論性較強(qiáng)，適合有一定統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)的讀者閱讀。
關(guān)于所謂的時(shí)間冪律模型，教鏈在過(guò)去數(shù)載曾寫(xiě)過(guò)多篇文章進(jìn)行介紹。
業(yè)內(nèi)有一位比較知名的匿名分析師PlanB一直比較推崇用S2F硬度來(lái)和價(jià)格進(jìn)行建模，這就是所謂的S2F模型。不過(guò)很可惜：S2F模型是錯(cuò)的。但請(qǐng)注意，這不代表S2F這個(gè)指標(biāo)沒(méi)有意義，只是說(shuō)，S2F硬度的變化，與價(jià)格的關(guān)系，不像PlanB所描繪的那樣“激進(jìn)”。
下面這個(gè)圖就很清晰地展示了冪律模型和S2F模型的相對(duì)關(guān)系：
顯然，S2F模型認(rèn)為時(shí)間線性流逝就可以推動(dòng)價(jià)格的指數(shù)增長(zhǎng)，而冪律模型則認(rèn)為時(shí)間的指數(shù)流逝才能推動(dòng)價(jià)格的指數(shù)增長(zhǎng)。
教鏈傾向于使用S2F硬度來(lái)形象化產(chǎn)量減半所導(dǎo)致的“相變”，但使用冪律模型把比特幣變換到雙對(duì)數(shù)空間中進(jìn)行線性回歸。冪律模型的優(yōu)雅特別有支持向量機(jī)（SVM）的神韻，所以甚合我意。
下面，就是 H. Burger & P. Vijn 的論文。Enjoy!
比特幣基于時(shí)間的冪律是什么
比特幣基于時(shí)間的冪律，最初由 Giovanni Santostasi 于 2014 年提出，我們于 2019 年重新表述（作為走廊或三參數(shù)模型），描述了比特幣價(jià)格與時(shí)間之間的關(guān)系。具體來(lái)說(shuō)，該模型描述了比特幣創(chuàng)世區(qū)塊之后的天數(shù)對(duì)數(shù)與比特幣美元價(jià)格對(duì)數(shù)之間的線性關(guān)系。
該模型吸引了包括 Marcel Burger、Tim Stolte 和 Nick Emblow 在內(nèi)的多位批評(píng)家，他們各自撰文對(duì)該模型進(jìn)行了 "反駁"。在本文中，我們將逐一剖析這三個(gè)批評(píng)中的一個(gè)關(guān)鍵論點(diǎn)：時(shí)間與價(jià)格之間不存在協(xié)整性（cointegration）的說(shuō)法，認(rèn)為該模型 "無(wú)效"，只是表明了一種虛假的關(guān)系。
真的是這樣嗎？
在本文中，我們將對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行深入研究。這使我們認(rèn)定，嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，協(xié)整不可能存在于時(shí)間相關(guān)模型中，包括我們自己的模型。然而，不可否認(rèn)的是，協(xié)整所必需的統(tǒng)計(jì)屬性之一在基于時(shí)間的冪律模型中是存在的。因此，我們得出結(jié)論認(rèn)為，基于時(shí)間的冪律模型在狹義上是協(xié)整的，我們的批評(píng)是錯(cuò)誤的，該模型是完全有效的。我們證明，這一結(jié)論同樣適用于“存量增量比”（S2F）模型，以及在長(zhǎng)期股票市場(chǎng)指數(shù)價(jià)格中觀察到的指數(shù)增長(zhǎng)。
概念入門(mén)
啥是協(xié)整性
你已經(jīng)迷失方向了嗎？也許你對(duì)“協(xié)整性”一詞并不熟悉？別擔(dān)心：因果推論和非虛假關(guān)系領(lǐng)域的專(zhuān)家、《為什么之書(shū)》的作者 Judea Pearl 聲稱(chēng)自己對(duì)這個(gè)問(wèn)題一無(wú)所知。我們將努力充分闡明手頭的相關(guān)術(shù)語(yǔ)。
在推特上比特幣相關(guān)話題討論中，關(guān)于協(xié)整性的爭(zhēng)論非常有趣，而且相當(dāng)引人入勝。許多“存量增量比”和“冪律”的追隨者都感到困惑。有興趣的讀者可以通過(guò)搜索“什么是協(xié)整”來(lái)親眼目睹這一點(diǎn)。隨著時(shí)間的推移，一些貢獻(xiàn)者似乎已經(jīng)掌握并完善了他們的理解，而另一些貢獻(xiàn)者則仍然感到困惑、轉(zhuǎn)換陣營(yíng)或迷失方向。直到現(xiàn)在，我們才開(kāi)始關(guān)注這個(gè)話題。
先了解一些背景情況
隨機(jī)過(guò)程涉及隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的值不是預(yù)先確定的。與此相反，確定性過(guò)程可以提前精確預(yù)測(cè) —— 它的方方面面都是事先已知的。股票市場(chǎng)價(jià)格等屬于隨機(jī)變量，因?yàn)槲覀儫o(wú)法提前預(yù)測(cè)資產(chǎn)的價(jià)格。因此，我們將股票或比特幣價(jià)格等時(shí)間序列視為隨機(jī)變量的觀測(cè)值。
相反，時(shí)間的流逝遵循確定性模式。每秒鐘都有一秒鐘過(guò)去，不存在任何不確定性。因此，事件發(fā)生后的持續(xù)時(shí)間是一個(gè)確定變量。
一個(gè)信號(hào)的固定性
在研究協(xié)整之前，我們先來(lái)看看協(xié)整的基礎(chǔ)概念：平穩(wěn)性（stationary）：
圖釋?zhuān)簩⒊染€差分一次，就得到了藍(lán)線。對(duì) I(1)時(shí)間序列差分一次，就得到了 I(0)時(shí)間序列。
平穩(wěn)過(guò)程（stationary process）是一種隨機(jī)過(guò)程（stochastic process），從廣義上講，它在一段時(shí)間內(nèi)具有相同的性質(zhì)。例如，對(duì)于平穩(wěn)過(guò)程來(lái)說(shuō)，其均值和方差是確定和穩(wěn)定的。靜止時(shí)間序列的同義詞是 I(0)。源于平穩(wěn)過(guò)程的時(shí)間序列不應(yīng)該“漂移”（drift），而應(yīng)該趨向于平均值，通常是零值。
非平穩(wěn)過(guò)程的一個(gè)例子就是隨機(jī)漫步，例如物理學(xué)中的布朗運(yùn)動(dòng)或粒子擴(kuò)散：隨機(jī)漫步中的每個(gè)新值都取決于前一個(gè)值加上一個(gè)隨機(jī)數(shù)。非平穩(wěn)過(guò)程的屬性（如均值和方差）會(huì)隨時(shí)間而改變，或者沒(méi)有定義。非平穩(wěn)過(guò)程為 I(1)或更高，但通常為 I(1)。源于非平穩(wěn)過(guò)程的時(shí)間序列會(huì)隨著時(shí)間的推移而“漂移”，即傾向于偏離任何固定值。
符號(hào) I(1) 指的是一個(gè)時(shí)間序列需要“差分”（differenced）多少次才能達(dá)到靜態(tài)。差分是指求取時(shí)間序列中的值與其前值之間的差值。這大致相當(dāng)于求導(dǎo)數(shù)。平穩(wěn)時(shí)間序列已經(jīng)是平穩(wěn)的 —— 它需要經(jīng)過(guò) 0 次差分變成平穩(wěn)的，因此它是 I(0)。I(1)時(shí)間序列需要經(jīng)過(guò)一次差分才能達(dá)到平穩(wěn)。
上圖的繪制方式是，通過(guò)對(duì)橙色時(shí)間序列進(jìn)行一次差分，得到藍(lán)色時(shí)間序列。等價(jià)地，橙色時(shí)間序列是通過(guò)對(duì)藍(lán)色時(shí)間序列進(jìn)行積分得到的。
單位根過(guò)程（unit root process）指的是自回歸模型（autoregressive models）（更準(zhǔn)確地說(shuō)是 AR(1) 類(lèi)型），其 rho 參數(shù)被估計(jì)為等于 1。雖然我們可以交替使用 rho 和根，但 rho 指的是過(guò)程的真實(shí)值，而這個(gè)值通常是未知的，需要進(jìn)行估計(jì)。估計(jì)結(jié)果就是“根”值。
rho 的值表示進(jìn)程對(duì)先前值的記憶程度。u 的值指的是誤差項(xiàng)，假定為白噪聲。
單位根過(guò)程是隨機(jī)游走過(guò)程，屬于非平穩(wěn)過(guò)程。“根”或 rho 值低于 1 的過(guò)程往往不會(huì)漂移，因此是平穩(wěn)的。即使是接近（但低于）1 的值，從長(zhǎng)期來(lái)看也傾向于均值回歸（而不是漂移）。因此，單位根過(guò)程的特殊性在于它與根值非常接近 1 的過(guò)程有著本質(zhì)的不同。
兩個(gè)信號(hào)的協(xié)整
兩個(gè)隨機(jī)變量（本例中為時(shí)間序列）之間存在或不存在協(xié)整性（協(xié)整關(guān)系）。要使這對(duì)變量具有協(xié)整關(guān)系，兩者必須具有相同的積分階次，并且都是非平穩(wěn)的。此外（這是關(guān)鍵部分），兩個(gè)時(shí)間序列的線性組合必須是平穩(wěn)的。
無(wú)協(xié)整信號(hào)示例
如果兩個(gè)時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，那么線性組合（在這種情況下，我們只需選擇兩個(gè)時(shí)間序列的差值）通常也是非平穩(wěn)的：
協(xié)整信號(hào)示例
如果兩個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列在長(zhǎng)期內(nèi)“以同樣的方式”漂移，那么線性組合（這里我們選擇 r2-0.5*r1）可能是平穩(wěn)的：
Tu 等人[1]直觀地描述了協(xié)整關(guān)系：
"時(shí)間序列之間存在協(xié)整關(guān)系意味著它們?cè)陂L(zhǎng)期內(nèi)具有共同的隨機(jī)漂移"。
為什么兩個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列的線性組合是平穩(wěn)的？假設(shè)我們有兩個(gè)時(shí)間序列 x 和 y，我們?cè)噲D根據(jù) x 建立 y 模型：y = a + b*x。我們的模型誤差由 x 和 y 的線性組合給出：模型誤差 error = y - a - b*x 。我們希望模型誤差是平穩(wěn)的，即不會(huì)長(zhǎng)期漂移。如果模型誤差長(zhǎng)期漂移，那就意味著我們的模型不好，不能做出準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)。
細(xì)節(jié)是魔鬼（細(xì)節(jié)決定成?。?/strong>
在 Engle 和 Granger [2]（Granger 是協(xié)整概念的發(fā)明者，曾獲 2003 年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)）的《協(xié)整與誤差修正：表示、估計(jì)和檢驗(yàn)》一文中，定義了協(xié)整的關(guān)鍵概念和檢驗(yàn)方法。該論文的關(guān)鍵是假設(shè)時(shí)間序列是隨機(jī)的，沒(méi)有確定性成分（我們稍后再談）。
如果存在確定性趨勢(shì)，則應(yīng)在分析前將其去除：
應(yīng)用于時(shí)間和比特幣價(jià)格
在基于時(shí)間的冪律中，我們有兩個(gè)變量：
1. log_time：創(chuàng)世區(qū)塊之后天數(shù)的對(duì)數(shù)
2. log_price：價(jià)格的對(duì)數(shù)
根據(jù) Engle 和 Granger 的定義，兩個(gè)變量都必須是隨機(jī)變量，沒(méi)有確定性成分，而且必須是非平穩(wěn)的。此外，我們必須能夠找到這兩個(gè)變量的靜態(tài)線性組合。否則，這兩個(gè)變量之間就不存在協(xié)整關(guān)系。
在深入探討細(xì)節(jié)之前，讓我們先展示幾張模型數(shù)據(jù)本身的圖表，其中不包含任何平穩(wěn)或協(xié)整概念。請(qǐng)注意，基于時(shí)間的冪律產(chǎn)生的擬合效果直觀看來(lái)相當(dāng)不錯(cuò)。殘差向量（residuals vector）并沒(méi)有立即顯示出漂移。
此外，該模型還顯示出卓越的樣本外性能（見(jiàn)下文）。出色的樣本外性能并不意味著該模型是虛假的 —— 基于虛假相關(guān)性的模型應(yīng)該只是虛假的，即無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。檢驗(yàn)樣本外性能的方法是在有限的數(shù)據(jù)量（截至某個(gè)日期）上擬合模型，并對(duì)模型未擬合的時(shí)間段進(jìn)行預(yù)測(cè)（類(lèi)似于交叉驗(yàn)證）。在樣本外期間，觀察到的價(jià)格經(jīng)常與建模價(jià)格交叉，觀察到的價(jià)格的最大偏離也沒(méi)有系統(tǒng)性地進(jìn)一步遠(yuǎn)離建模價(jià)格。
我們可以更加嚴(yán)格，觀察模型發(fā)布之后（2019 年 9 月）的表現(xiàn)，因?yàn)槟Ｐ桶l(fā)布后，我們不可能有任何作弊行為 —— 我們不能事后更改模型。
如果有人指責(zé)該模型只是基于一種虛假的相關(guān)性，那么該模型的預(yù)測(cè)能力應(yīng)該已經(jīng)讓人感到懷疑了。
逐步實(shí)現(xiàn)協(xié)整
要使 log_time 和 log_price 之間可能存在協(xié)整關(guān)系，這兩個(gè)變量必須是同階隨機(jī)變量，且至少是 1 階隨機(jī)變量。
log_price 變量
log_price 是平穩(wěn)時(shí)間序列嗎？Nick 使用未指定類(lèi)型的 ADF 檢驗(yàn)（非平穩(wěn)性檢驗(yàn)）和 KPSS 檢驗(yàn)（平穩(wěn)性檢驗(yàn)）得出結(jié)論，log(price) 毫無(wú)疑問(wèn)是非平穩(wěn)的，因此是 I(1)或更高。Marcel Burger 通過(guò)目測(cè)得出結(jié)論，它是 I(1)。Tim Stolte 提出了一個(gè)更有趣的觀察：他對(duì)不同時(shí)期進(jìn)行了 ADF 檢驗(yàn)（未指定類(lèi)型），并指出情況并非一目了然：“因此，我們無(wú)法堅(jiān)定地拒絕非平穩(wěn)性，并得出 log-price 存在非平穩(wěn)性跡象的結(jié)論。”
讓我們自己跑一下分析。與 Tim Stolte 類(lèi)似，我們將在不同的時(shí)間窗口進(jìn)行 ADF 檢驗(yàn)：總是從第一個(gè)可用日期開(kāi)始，每天增加一天（我們使用每日數(shù)據(jù)）。這樣，我們就能看到 ADF 檢驗(yàn)的結(jié)果是如何隨時(shí)間變化的。但與 Tim 和 Nick 不同的是，我們要指定運(yùn)行哪個(gè)版本的 ADF 檢驗(yàn)。根據(jù)維基百科，DF 和 ADF 檢驗(yàn)有三種主要類(lèi)型：
這三個(gè)版本的區(qū)別在于它們能夠適應(yīng)（移除）不同的趨勢(shì)。這與 Engle 和 Granger 要求去除任何確定性趨勢(shì)有關(guān) —— 這三個(gè)版本能夠去除三種簡(jiǎn)單的確定性趨勢(shì)類(lèi)型。第一個(gè)版本試圖只使用過(guò)去的 log_price 數(shù)據(jù)來(lái)描述每日的 log_price 變化。第二個(gè)版本允許使用常數(shù)項(xiàng)，其效果是 log_price 可以具有線性趨勢(shì)（向上或向下）。第三個(gè)版本允許二次方（拋物線）成分。
我們不知道 Tim 和 Nick 運(yùn)行的是哪個(gè)版本，但我們將運(yùn)行所有三個(gè)版本。
我們?cè)?ADF 檢驗(yàn)中使用的最大滯后期為 1，但使用更長(zhǎng)的滯后期不會(huì)對(duì)我們的結(jié)果和結(jié)論產(chǎn)生有意義的改變。我們將使用 python 的 statsmodels.tsa.stattools.adfuller 函數(shù)，"maxlag"為 1，"regression"參數(shù)使用 "n"、"c "和 "ct"（相當(dāng)于維基百科上面描述的三種類(lèi)型）。在下圖中，我們顯示了測(cè)試返回的 p 值（統(tǒng)計(jì)顯著性的衡量標(biāo)準(zhǔn)），p 值越小，表示平穩(wěn)的可能性越大（通常使用的臨界值為 0.05）。
我們注意到，第一種方法（綠線）得出的結(jié)論是，log_price 時(shí)間序列是非平穩(wěn)的。第三種檢驗(yàn)方法（橙色線）的結(jié)論相同，但不那么果斷。有趣的是，允許常數(shù)項(xiàng)的檢驗(yàn)（藍(lán)線）無(wú)法判定時(shí)間序列是否平穩(wěn)（很可能 Tim 也使用了帶有常數(shù)項(xiàng)的 ADF 檢驗(yàn)）。為什么這三個(gè)版本有如此大的差異，特別是為什么帶有常數(shù)項(xiàng)的版本不能排除 log_price 是平穩(wěn)的？
只有一種解釋?zhuān)涸?log_price 差分中僅使用常數(shù)項(xiàng)（導(dǎo)致 log_price 中的線性項(xiàng)）可以“很好地”擬合時(shí)間序列，從而產(chǎn)生看起來(lái)幾乎是平穩(wěn)的殘差信號(hào)（盡管起點(diǎn)和終點(diǎn)的偏差相當(dāng)大）。完全不在 log_price 中使用確定性趨勢(shì)，或使用二次項(xiàng)確定性效應(yīng)，效果都遠(yuǎn)不如前者。
這已經(jīng)給了我們一個(gè)強(qiáng)烈的暗示，即時(shí)間與 log_price 之間存在關(guān)系。事實(shí)上，如果使用常數(shù)項(xiàng)進(jìn)行的 ADF 檢驗(yàn)得出的結(jié)論是信號(hào)是平穩(wěn)的，這就意味著線性時(shí)間項(xiàng)能夠很好地近似 log_price，從而得到平穩(wěn)的殘差。獲得平穩(wěn)的殘差是可取的，因?yàn)樗欠翘摷訇P(guān)系的標(biāo)志（即我們找到了正確的解釋變量）。線性時(shí)間趨勢(shì)并不完全符合我們的要求，但我們似乎正在接近它。
我們的結(jié)論與 Marcel Burger 的結(jié)論明顯不同，他（在另一篇文章中）說(shuō)：
“在之前的分析中，我表明比特幣的價(jià)格是一階整合的，這一點(diǎn)仍然有效。比特幣在價(jià)格隨時(shí)間演變的過(guò)程中并沒(méi)有表現(xiàn)出任何確定性因素。”
我們的結(jié)論是，線性時(shí)間并不能充分解釋比特幣的價(jià)格隨時(shí)間變化的行為，但 log_price 有一個(gè)確定的時(shí)間因素是絕對(duì)清楚的。此外，在去除適當(dāng)?shù)拇_定性成分后（如 Engle 和 Granger 所要求的），也不清楚 log_price 是否為 I(1)。相反，它似乎是趨勢(shì)平穩(wěn)的，但仍需找到適當(dāng)?shù)拇_定性成分。
如果我們要尋找協(xié)整關(guān)系，log_price 不是 I(1)就已經(jīng)是個(gè)問(wèn)題了，因?yàn)橐箖蓚€(gè)變量協(xié)整，它們必須都是 I(1)或更高。
log_time 變量
現(xiàn)在讓我們看看 log_time 變量。Marcel Burger 的結(jié)論是，log_time 似乎進(jìn)行了 6 階積分（他一直在進(jìn)行差分，直到遇到數(shù)值問(wèn)題）。他期望像對(duì)數(shù)這樣的數(shù)學(xué)函數(shù)能從一個(gè)完全確定的變量轉(zhuǎn)化為一個(gè)隨機(jī)變量，這種做法是毫無(wú)道理的。
Nick 對(duì) log_time 的結(jié)論與對(duì) log_price 變量的結(jié)論相同：毫無(wú)疑問(wèn)，它是非平穩(wěn)的，因此 I(1) 或更高。Tim Stolte 聲稱(chēng) log_time 在構(gòu)造上是非平穩(wěn)的。這些說(shuō)法都令人吃驚！積分階次和協(xié)整是指隨機(jī)變量的概念，其中任何確定性趨勢(shì)都已被剔除（見(jiàn)上文 Engle 和 Granger [2]）。需要提醒的是：確定性變量的值是預(yù)先知道的，而隨機(jī)變量的值是不知道的。時(shí)間（顯然）是完全確定的，對(duì)數(shù)函數(shù)也是完全確定的，因此 log_time 也是完全確定的。
圖釋?zhuān)鹤髨D：自創(chuàng)世區(qū)塊之后的天數(shù)的對(duì)數(shù)是完全確定性的。右圖：隨機(jī)變量（看起來(lái)有點(diǎn)像左邊的確定性變量）。
如果我們按照 Engle 和 Granger 的方法，從 log_time 中移除確定性趨勢(shì)，那么剩下的就是一個(gè)零向量，因?yàn)?log(x) - log(x) = 0，也就是說(shuō)，我們?nèi)匀挥幸粋€(gè)完全確定的信號(hào)。這意味著我們陷入了困境 —— 我們無(wú)法將 log_time 這個(gè)完全確定的變量轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量，因此我們無(wú)法使用 Engle 和 Granger 的框架。
要想知道完全確定的變量在協(xié)整分析中會(huì)有多大問(wèn)題，還有一種方法，那就是考慮 Dickey-Fuller 檢驗(yàn)等平穩(wěn)性檢驗(yàn)如何處理它。讓我們考慮最簡(jiǎn)單的情況（其中 y 是感興趣的變量，rho 是需要估計(jì)的系數(shù)，u 是假定為白噪聲的誤差項(xiàng)）：
會(huì)發(fā)生什么？誤差項(xiàng) u_{t} 在所有 t 值中都為 0，因?yàn)槲覀儧](méi)有隨機(jī)成分 —— 應(yīng)該不需要誤差。但由于 log_time 是時(shí)間的非線性函數(shù)，因此 rho 的值也必須取決于時(shí)間。
對(duì)于隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)，這個(gè)模型更有用，因?yàn)樽兞?rho 可以捕捉到之前的隨機(jī)值在多大程度上被記住了。但如果沒(méi)有隨機(jī)值，這個(gè)模型就沒(méi)有意義了。
對(duì)于確定性變量，其他類(lèi)型的檢驗(yàn)也存在同樣的問(wèn)題。
因此，完全確定性變量不屬于協(xié)整分析的范疇。或者換一種說(shuō)法：協(xié)整分析不適用于確定性信號(hào)，如果其中一個(gè)信號(hào)是確定性的，那么協(xié)整分析就是一種聲稱(chēng)存在虛假關(guān)系的不合時(shí)宜的工具。
怎么解釋
只有兩個(gè)變量都是 I(d)，且 d 至少等于 1 的情況下，才存在協(xié)整關(guān)系。我們已經(jīng)證明 log_time 是一個(gè)完全確定的變量，不能用于靜態(tài)檢驗(yàn)。我們無(wú)法判斷 log_time 是 I(0)、I(1) 還是 I(6)。此外，log_price 也不是 I(1)，而是趨勢(shì)平穩(wěn)的。
log_time 和 log_price 之間不存在協(xié)整關(guān)系，這是否意味著基于時(shí)間的冪律在統(tǒng)計(jì)上是無(wú)效的或虛假的？
當(dāng)然不是
在任何適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)分析中，使用混合確定變量和趨勢(shì)平穩(wěn)變量都是完全正確的。協(xié)整并不像我們的批評(píng)者試圖讓人相信的那樣，是統(tǒng)計(jì)關(guān)系分析的中心點(diǎn)。
因此，協(xié)整分析是不可行的。但是，應(yīng)用于冪律模型的平穩(wěn)分析可能還有用武之地。讓我們進(jìn)一步探討這個(gè)問(wèn)題。
我們之所以首先對(duì)輸入變量進(jìn)行協(xié)整分析，是因?yàn)槲覀兿Ｍ业蕉叩钠椒€(wěn)線性組合。將一個(gè)確定性變量（log_time）和一個(gè)趨勢(shì)平穩(wěn)變量（log_price）進(jìn)行組合，從而得到一個(gè)平穩(wěn)變量，這從根本上說(shuō)是不可能的。因此，與其尋找嚴(yán)格意義上的協(xié)整關(guān)系，我們可以簡(jiǎn)單地對(duì)殘差進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)（因?yàn)闅埐钪皇莾蓚€(gè)輸入信號(hào)的線性組合）。如果殘差是平穩(wěn)的，那么即使我們沒(méi)有嚴(yán)格遵循 Engle-Granger 協(xié)整檢驗(yàn)，我們也找到了一個(gè)平穩(wěn)的線性組合（這正是協(xié)整的目的）。
深入探討
James G. MacKinnon [3] 在他的論文《協(xié)整檢驗(yàn)的臨界值》中正是這樣解釋的：如果已經(jīng)進(jìn)行了“協(xié)整回歸”（將 log_time 與 log_price 聯(lián)系起來(lái)的回歸），那么協(xié)整檢驗(yàn)（Engle-Granger 檢驗(yàn)）與對(duì)殘差進(jìn)行的平穩(wěn)性檢驗(yàn)（DF 或 ADF 檢驗(yàn)）是一回事：
MacKinnon 重復(fù)了這一說(shuō)法：如果連接 log_time 和 log_price 的參數(shù)是先驗(yàn)已知的，那么就可以跳過(guò) Engle-Granger 協(xié)整檢驗(yàn)，轉(zhuǎn)而對(duì)殘差進(jìn)行三種常見(jiàn)類(lèi)型之一的平穩(wěn)性檢驗(yàn)（DF 或 ADF 檢驗(yàn)）：
因此，我們可以使用兩種方法中的任何一種，除了得出的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量之外，這兩種方法是相同的：
1. 將 log_time 與 log_price 擬合，計(jì)算殘差（誤差）。根據(jù)殘差計(jì)算 DF，或者更好的是 ADF 檢驗(yàn)。由此得出的統(tǒng)計(jì)量可以說(shuō)明殘差是否平穩(wěn)。
2. 假設(shè) log_time 和 log_price 是 I(1)，并運(yùn)行 Engel-Granger 協(xié)整檢驗(yàn)。得出的統(tǒng)計(jì)量也能說(shuō)明殘差是否平穩(wěn)。
對(duì)于 ADF 檢驗(yàn)，我們使用 python 的 statsmodels.tsa.stattools.adfuller 函數(shù)；對(duì)于 Engle-Granger 檢驗(yàn)，我們使用 statsmodels.tsa.stattools.coint。對(duì)于這兩個(gè)函數(shù)，我們都使用了不使用常數(shù)（不隨時(shí)間不斷漂移）的方式，因?yàn)槲覀兊臍埐畈粦?yīng)該包含隨時(shí)間不斷漂移（因?yàn)檫@意味著隨著時(shí)間的推移，模型開(kāi)始高估或低估價(jià)格）。
我們?cè)鴮?xiě)道，ADF 檢驗(yàn)和 Engle-Granger 檢驗(yàn)是等價(jià)的，但事實(shí)并非如此：它們不會(huì)產(chǎn)生相同的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。Engle-Granger 協(xié)整檢驗(yàn)假設(shè)有 N=2 個(gè)隨機(jī)變量，而 ADF 檢驗(yàn)假設(shè)有 N=1 個(gè)隨機(jī)變量（N 是自由度的量度）。一個(gè)隨機(jī)變量可以受另一個(gè)隨機(jī)變量或一個(gè)確定變量的影響，但一個(gè)確定變量不能受一個(gè)隨機(jī)變量的影響。因此，在我們的案例中（只有一個(gè)確定變量 log_time），ADF 檢驗(yàn)（假定 N=1 個(gè)隨機(jī)變量）返回的統(tǒng)計(jì)量更可取。原則上，Engle-Granger 檢驗(yàn)和 ADF 檢驗(yàn)可能存在分歧，但在基于時(shí)間的模型中，實(shí)際情況并非如此。如下圖所示，結(jié)論是一樣的：我們得到了一個(gè)平穩(wěn)的殘差向量。兩種檢驗(yàn)的得分都遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于 0.05 臨界值（表明殘差是平穩(wěn)的），而且長(zhǎng)期以來(lái)一直如此。
圖釋?zhuān)焊鶕?jù) ADF 和 Engle-Granger 檢驗(yàn)，基于時(shí)間的冪律從 2016 年左右開(kāi)始具有平穩(wěn)的殘差。
兩種檢驗(yàn)最初都沒(méi)有顯示出平穩(wěn)的殘差是正常的。這是因?yàn)闅埐钚盘?hào)中的低頻成分會(huì)被誤認(rèn)為是非平穩(wěn)信號(hào)。只有隨著時(shí)間的推移，殘差的均值回歸才會(huì)變得明顯，實(shí)際上是平穩(wěn)的。
S2F 與長(zhǎng)期股指價(jià)格
S2F 模型被普遍否定，似乎是因?yàn)閲?yán)格意義上的協(xié)整被證明是不可能的，其原因與基于時(shí)間的冪律相似：輸入變量是（部分）確定的。然而，該模型產(chǎn)生的殘差看起來(lái)非常平穩(wěn)。
事實(shí)上，Engle-Granger 協(xié)整檢驗(yàn)和 ADF 平穩(wěn)性檢驗(yàn)（因?yàn)橛幸粋€(gè)確定變量和一個(gè)隨機(jī)變量，所以更可取）得出的 p 值都非常接近 0。因此，不應(yīng)以“缺乏協(xié)整性”（實(shí)際上是“缺乏平穩(wěn)性”）為由排除 S2F 模型。
然而，我們?cè)?2020 年初指出，還有其他跡象表明 S2F 模型不成立。我們預(yù)測(cè) BTCUSD 的價(jià)格將低于 S2F 模型的預(yù)測(cè)，事實(shí)證明這一預(yù)測(cè)是有先見(jiàn)之明的。
觀察長(zhǎng)期股價(jià)指數(shù)與時(shí)間的對(duì)比也很有趣（此處為不含紅利再投資的標(biāo)準(zhǔn)普爾 500 指數(shù)）。眾所周知，主要股票市場(chǎng)指數(shù)平均以 7% 左右的指數(shù)速度增長(zhǎng)。事實(shí)上，我們通過(guò)指數(shù)回歸也證實(shí)了這一點(diǎn)。
在這里，我們又遇到了一個(gè)確定性變量（時(shí)間）。Engle-Granger 協(xié)整檢驗(yàn)得出的 p 值約為 0.025，ADF 檢驗(yàn)（首選）得出的 p 值約為 0.0075（但這些值在很大程度上取決于選擇的確切時(shí)間段）。再一次，平穩(wěn)的殘差。股票價(jià)格的指數(shù)時(shí)間趨勢(shì)是有效的。
影響
S2F 模型最初受到高度評(píng)價(jià)（尤其是 Marcel Burger 和 Nick Emblow），原因是該模型據(jù)稱(chēng)具有良好的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)基礎(chǔ)，特別是存在協(xié)整關(guān)系。隨著潮流的轉(zhuǎn)變，S2F 模型顯然不存在嚴(yán)格意義上的協(xié)整關(guān)系，Marcel 和 Nick 都跳船了，宣布 S2F 模型無(wú)效。似乎在這一事件之后，大眾對(duì) S2F 模型的看法也發(fā)生了變化。Eric Wall 對(duì)事件的轉(zhuǎn)折做了一個(gè)極好的簡(jiǎn)短總結(jié)。
我們已經(jīng)解釋過(guò)，而且計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)文獻(xiàn)（MacKinnon [3]）也同意我們的觀點(diǎn)，即協(xié)整性和平穩(wěn)性幾乎可以互換使用（統(tǒng)計(jì)量的值除外）。根據(jù)這一觀點(diǎn)，我們認(rèn)為 S2F 模型在協(xié)整性/平穩(wěn)性方面沒(méi)有任何問(wèn)題，因此，因?yàn)樗^缺乏協(xié)整性而改變對(duì) S2F 模型的看法是錯(cuò)誤的。我們同意 S2F 模型是錯(cuò)誤的，但其錯(cuò)誤的原因不在于缺乏協(xié)整性。
比特幣的時(shí)間冪律模型因缺乏協(xié)整性而受到批評(píng)，據(jù)說(shuō)這標(biāo)志著 log_time 和 log_price 之間的關(guān)系是虛假的。我們已經(jīng)證明，比特幣基于時(shí)間的冪律模型的殘差明顯是平穩(wěn)的，因此批評(píng)者的推理是值得商榷的。
比特幣的時(shí)間冪律模型是有效、穩(wěn)定和強(qiáng)大的。一如既往。
以上就是比特幣時(shí)間冪律模型的詳細(xì)介紹了，此文比較專(zhuān)業(yè)，需要一些特定的知識(shí)才能更好的閱讀。
參考文獻(xiàn)
- "Universal Cointegration and Its Applications" Tu et al., including supplemental information
- “Co-Integration and Error Correction: Representation, Estimation, and Testing” by Robert F. Engle and C. W. J. Granger
- “Critical Values for Cointegration Tests”, James G. MacKinnon
你可能感興趣的文章
-
PEPE幣2024-2025牛市會(huì)成為百倍幣嗎？
百倍幣在牛市中表現(xiàn)出巨大的潛力,這是因?yàn)樵谂Ｊ兄?，大部分小白投資者更傾向于購(gòu)買(mǎi)單價(jià)低的幣種，PEPE幣也被稱(chēng)為下一代的狗狗幣，那么，PEPE幣2024-2025牛市會(huì)成為百倍幣嗎…
2024-03-25 -
FIL幣2024年會(huì)漲到多少？FIL幣最新價(jià)格多少錢(qián)？
深入分析當(dāng)前市場(chǎng)環(huán)境與Filecoin項(xiàng)目發(fā)展動(dòng)態(tài)，F(xiàn)il幣(FIL)在2024年的市場(chǎng)表現(xiàn)被眾多分析師寄予厚望,那么，F(xiàn)IL幣2024年會(huì)漲到多少？FIL幣最新價(jià)格多少錢(qián)？本文將為大家詳細(xì)…
2024-03-25 -
2024年4月數(shù)字貨幣未來(lái)趨勢(shì)如何?四月虛擬貨幣行情預(yù)測(cè)
2024年4月數(shù)字資產(chǎn)趨勢(shì)如何？2024年數(shù)字資產(chǎn)的未來(lái)趨勢(shì)展望,加息，減半，在2024年注定是不能平靜的年份，那么2024年的未來(lái)趨勢(shì)是什么樣的呢？2024年4月行情如何呢？下面一…
2024-03-23 -
2024柴犬幣價(jià)格預(yù)測(cè)：未來(lái)SHIB能達(dá)到1美分1美元嗎？
柴犬幣（SHIB）是一種基于迷因的加密貨幣，于2020 年由名為Ryoshi 的匿名人士創(chuàng)建,它的靈感來(lái)源于狗狗幣，使用日本柴犬作為其徽標(biāo)，是一個(gè)基于去中心化社區(qū)的加密貨幣項(xiàng)目…
2024-12-02 -
Convex Finance(CVX)幣是什么？CVX幣價(jià)格走勢(shì)分析及未來(lái)預(yù)測(cè)
CVX是Convex平臺(tái)的原生代幣,可以抵押在Convex平臺(tái)上，以分享Curve LP的CRV 收益，并用于對(duì)該協(xié)議的特定代幣分配進(jìn)行投票,那么，CVX幣是什么？本文將為大家詳細(xì)介紹CVX幣價(jià)…
2024-08-28 -
ARB幣有沒(méi)有可能翻千倍？ARB幣價(jià)格預(yù)測(cè)2024-2030
ARB將做為Arbitrum公鏈的治理代幣，讓整個(gè)Arbitrum公鏈發(fā)展成一個(gè)DAO組織，經(jīng)由DAO的形式發(fā)展Arbitrum ,了解了ARB幣之后，投資者想知道ARB幣有沒(méi)有可能翻千倍？下面就帶大…
2024-03-21 -
GMT幣是什么？GMT幣2024-2030年價(jià)格預(yù)測(cè)及未來(lái)分析
GMT是STEPN和Gas Hero的原生加密貨幣,本文將為大家全面介紹GMT幣，預(yù)測(cè)2024-2030年GMT幣價(jià)格，一起來(lái)看看吧…
2024-03-21 -
Firo (FIRO) 幣是什么？FIRO幣價(jià)格走勢(shì)分析及未來(lái)預(yù)測(cè)
Firo是一種注重隱私的加密貨幣，有時(shí)也被稱(chēng)為隱私幣,那么，F(xiàn)iro (FIRO) 幣是什么？本文將為大家詳細(xì)分析FIRO幣價(jià)格走勢(shì)及未來(lái)預(yù)測(cè)…
2024-03-21 -
DeXe幣是什么？DEXE幣價(jià)格走勢(shì)分析及未來(lái)預(yù)測(cè)
DEXE幣是DeXe網(wǎng)絡(luò)的原生代幣，可作為以太坊ERC-20 代幣或幣安智能鏈(BSC) BEP-20 代幣標(biāo)準(zhǔn),那么究竟DeXe幣是什么？如何運(yùn)作？本文將為大家詳細(xì)介紹DEXE幣價(jià)格走勢(shì)分析及未…
2024-03-20 -
SHIB幣未來(lái)價(jià)格預(yù)測(cè)：柴犬幣SHIB能漲到0.5美元嗎？
柴犬幣是一種基于迷因的加密貨幣，于2020 年由名為Ryoshi 的匿名人士創(chuàng)建,它是發(fā)行在以太坊鏈上的ERC-20 代幣，使用日本柴犬作為其徽標(biāo)，是一個(gè)基于去中心化社區(qū)的加密貨幣…
2024-03-20
